Задача №20527

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF\text{,}$ если $AD=50\text{,}$ $BC=30\text{,}$ $CF:DF=7:3\text{.}$

Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ трапеции до пересечения в точке $P$ (вершина «конуса», из которого вырезана трапеция). Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольники $PBC$ и $PAD$ подобны, поэтому длина любого отрезка, параллельного основаниям, линейно зависит от положения между $BC$ и $AD\text{.}$

Отрезок $EF\parallel AD$ пересекает боковую сторону $DC$ в точке $F\text{,}$ причём $CF:DF=7:3\text{.}$ Значит $F$ делит сторону $CD$ от вершины $C$ (со стороны меньшего основания $BC$) в отношении

Длина параллельного основаниям отрезка меняется от $BC=30$ (при $C$) до $AD=50$ (при $D$) линейно по доле пройденного пути вдоль боковой стороны. Поэтому

Проверка через подобие: если $BC$ отстоит от вершины $P$ на расстоянии $h_1\text{,}$ а $AD$ — на $h_2\text{,}$ то $\frac{h_1}{h_2}=\frac{BC}{AD}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}\text{,}$ то есть $h_1=0,6h_2\text{.}$ Точка $F$ находится на расстоянии $h_F=h_1+\frac{7}{10}(h_2-h_1)=0,6h_2+0,7\cdot 0,4h_2=0,88h_2\text{.}$ Тогда $EF=AD\cdot \frac{h_F}{h_2}=50\cdot 0,88=44\text{.}$

Ответ: $EF=44\text{.}$