Задача №20525

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите диаметр окружности, если $AB=3\text{,}$ $AC=5\text{.}$

Пусть $O$ — центр окружности; по условию $O$ лежит на стороне $AC\text{.}$ Обозначим радиус $r\text{.}$

Радиусы. Окружность проходит через $C\text{,}$ значит $OC=r\text{.}$ Окружность касается прямой $AB$ в точке $B\text{,}$ поэтому радиус $OB$ перпендикулярен касательной: $OB\perp AB$ и $OB=r\text{.}$

Отрезок $AO\text{.}$ Точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой ($O$ на $AC$), причём $O$ между $A$ и $C\text{.}$ Тогда

Прямоугольный треугольник $ABO\text{.}$ Так как $OB\perp AB\text{,}$ треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{.}$ По теореме Пифагора

Раскрываем: $25-10r+r^2=9+r^2\text{,}$ откуда $25-10r=9\text{,}$ значит $r=1,6\text{.}$

Диаметр. $d=2r=3,2\text{.}$

Проверка (касательная и секущая из точки $A$). Квадрат касательной $A{B}^2=9\text{.}$ Прямая $AC$ — секущая, проходит через центр и пересекает окружность в $C$ и в диаметрально противоположной точке $D\text{,}$ причём $AD=AO-r=(5-r)-r=5-2r=1,8\text{.}$ Тогда $AD\cdot AC=1,8\cdot 5=9=A{B}^2$ — верно.

Ответ: $3,2\text{.}$