Задача №20523

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x⩾-1,\\ -\frac{4}{x},& x<-1.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Строим график по частям.

Правая часть: $y=x^2+1$ при $x⩾-1\text{.}$ Это часть параболы с вершиной $(0;1)\text{.}$ В точке $x=-1$ значение $y=(-1{)}^2+1=2$ (точка $(-1;2)$ входит в график). На отрезке $[-1;0]$ функция убывает от $2$ до $1\text{,}$ при $x⩾0$ — возрастает от $1$ до $+\infty \text{.}$

Сколько точек этой части даёт прямая $y=m\text{:}$

• $m<1$ — нет точек (ниже минимума);
• $m=1$ — одна точка $(0;1)\text{;}$
• $1<m⩽2$ — две точки (левая ветвь $x=-\sqrt{m-1}\in [-1;0]$ и правая $x=\sqrt{m-1}$);
• $m>2$ — одна точка: левый корень $x=-\sqrt{m-1}<-1$ выходит из области, остаётся только правый $x=\sqrt{m-1}\text{.}$

Левая часть: $y=-\frac{4}{x}$ при $x<-1\text{.}$ При $x<-1$ имеем $-\frac{4}{x}>0\text{;}$ функция возрастает (производная $\frac{4}{x^2}>0$). При $x\to -1^{-}$ значение $y\to 4$ (не достигается, точка $(-1;4)$ выколота), при $x\to -\infty$ значение $y\to 0^{+}\text{.}$ Значит эта часть пробегает все значения из промежутка $(0;4)$ ровно по одному разу.

Сколько точек этой части даёт прямая $y=m\text{:}$

• $0<m<4$ — одна точка;
• иначе — нет точек (в частности при $m=4$ — выколото).

Складываем количество общих точек:

Ровно одна общая точка получается при $0<m<1$ и при $m⩾4\text{.}$

Ответ: $m\in (0;1)\cup [4;+\infty )\text{.}$