Задача №20521

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 48 и 24, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=13\text{.}$

Продолжим боковые стороны до пересечения. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ В треугольнике $AKD$ сумма углов при вершинах $A$ и $D$ равна $90^{\circ }$ (это углы трапеции при основании $AD$), поэтому

Значит, прямые $KA$ и $KD$ перпендикулярны.

Подобие. Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольники $KBC$ и $KAD$ подобны с коэффициентом

Поэтому $B$ — середина $KA\text{,}$ а $C$ — середина $KD\text{.}$ Отсюда

Окружность. Пусть окружность $\omega$ проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ (то есть прямой $KD$) в точке $T\text{;}$ её центр — $O\text{,}$ радиус — $R\text{.}$ Точки $A$ и $B$ лежат на прямой $KA\text{,}$ значит она — секущая, а $KD$ — касательная. По свойству касательной и секущей (степень точки $K$):

Радиус. Опустим из центра $O$ перпендикуляр на прямую $KA\text{;}$ его основание $M$ — середина хорды $AB\text{.}$ Тогда

Поскольку $KD\perp KA\text{,}$ а $OM\perp KA$ и $OT\perp KD\text{,}$ четырёхугольник $KMOT$ — прямоугольник (три прямых угла: при $K\text{,}$ $M$ и $T$). Значит его противоположные стороны равны:

Ответ: $19,5\text{.}$