Задача №19960

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей радиусов $r_1=45$ и $r_2=55\text{.}$ При внешнем касании

Прямые $AC$ и $BD$ — две общие внешние касательные, поэтому вся конфигурация симметрична относительно линии центров $O_1{O}_2\text{.}$ Значит, хорда $AB$ (соединяет точки касания на первой окружности) и хорда $CD$ (на второй) перпендикулярны прямой $O_1{O}_2$ и параллельны между собой. Искомое расстояние между $AB$ и $CD$ — это отрезок линии центров между ними.

Угол наклона касательной. Опустим из $O_1$ и $O_2$ перпендикуляры на касательную $AC\text{;}$ их длины равны радиусам $r_1$ и $r_2\text{.}$ Проведём через $O_1$ прямую, параллельную $AC\text{;}$ она отсекает на радиусе $O_{2}C$ отрезок $r_2-r_1\text{,}$ а гипотенузой служит $O_1{O}_2=d\text{.}$ Отсюда угол $\alpha$ между касательной и линией центров удовлетворяет

Положение хорд. Радиус $O_{1}A\perp AC\text{,}$ поэтому проекция точки $A$ на линию центров отстоит от $O_1$ на

(в сторону точки пересечения касательных). Аналогично проекция $C$ отстоит от $O_2$ на

в ту же сторону. Обе хорды смещены от своих центров в одном направлении, поэтому расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно

То же короче: $\frac{d^2-(r_2-r_1{)}^2}{d}=\frac{100^2-10^2}{100}=\frac{9900}{100}=99.$

Ответ: $99\text{.}$