Задача №19845

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}\text{.}$

Касательная и секущая. Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $P\text{.}$ Прямая $AC$ является секущей и пересекает окружность в точках $M$ и $N\text{.}$ По теореме о касательной и секущей (степень точки $A$):

Синус угла $A\text{.}$ $\sin \angle BAC=\sqrt{1-{\cos }^2\angle BAC}=\sqrt{1-\frac{15}{16}}=\frac{1}{4}.$

Вспомогательные отрезки. Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому $OP\perp AB\text{,}$ и в прямоугольном треугольнике $APO\text{:}$ $A{O}^2=A{P}^2+O{P}^2=R^2+60\text{.}$ Опустим перпендикуляр $OH$ на прямую $AC\text{;}$ так как $OM=ON=R\text{,}$ точка $H$ — середина хорды $MN\text{,}$ откуда $AH=\frac{AM+AN}{2}=9,5\text{.}$

Углы при вершине $A\text{.}$ Обозначим $\beta =\angle OAB\text{,}$ $\gamma =\angle OAC\text{.}$ Из прямоугольных треугольников $APO$ и $AHO\text{:}$

Центр $O$ лежит по другую сторону от прямой $AC\text{,}$ чем луч $AB\text{,}$ поэтому $\gamma =\beta -\angle BAC\text{.}$ По формуле косинуса разности:

Уравнение на $R\text{.}$ Подставим выражения и умножим обе части на $AO\text{:}$

Отсюда $\frac{R}{4}=2\text{,}$ значит $R=8\text{.}$

Ответ: 8.