Задача №20516

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD\text{.}$ По условию $AD\perp BE\text{,}$ то есть прямая $AD$ перпендикулярна биссектрисе $BE$ в точке $P\text{.}$

Шаг 1. Ключевое наблюдение (осевая симметрия). Отразим точку $A$ относительно прямой $BE\text{.}$ Так как $BE$ — биссектриса угла $ABC\text{,}$ при этой симметрии луч $BA$ переходит в луч $BC\text{,}$ значит образ $A^{\prime }$ лежит на прямой $BC$ и $B{A}^{\prime }=BA\text{.}$ С другой стороны, $A{A}^{\prime }\perp BE\text{,}$ а точка $A$ лежит на прямой $AD\text{,}$ которая тоже перпендикулярна $BE$ в точке $P\text{;}$ поэтому образ $A^{\prime }$ лежит на прямой $AD\text{,}$ и $P$ — середина отрезка $A{A}^{\prime }\text{.}$

Прямые $AD$ и $BC$ пересекаются только в точке $D\text{,}$ поэтому $A^{\prime }=D\text{.}$ Отсюда:

• $BA=BD=\frac{1}{2}BC\text{,}$ то есть $BC=2AB\text{;}$
• $P$ — середина медианы $AD\text{,}$ значит $AP=PD=\frac{AD}{2}=\frac{8}{2}=4\text{.}$

Шаг 2. Обозначения и длина медианы. Пусть $AB=c\text{,}$ тогда $BC=2c\text{.}$ По формуле длины медианы $AD$ к стороне $BC\text{:}$

Так как $AD=8\text{,}$ получаем $64=\frac{A{C}^2-c^2}{2}\text{,}$ откуда $A{C}^2=c^2+128\text{.}$

Шаг 3. Положение точки $E\text{.}$ Биссектриса делит сторону $AC$ в отношении прилежащих сторон: $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{2c}=\frac{1}{2}\text{,}$ поэтому $AE=\frac{AC}{3}\text{.}$

Шаг 4. Прямоугольный треугольник $APE\text{.}$ В равнобедренном треугольнике $ABD$ ($BA=BD=c$) отрезок $BP$ — высота к основанию $AD\text{,}$ поэтому $BP=\sqrt{A{B}^2-A{P}^2}=\sqrt{c^2-16}\text{.}$ Точка $E$ лежит на биссектрисе за точкой $P\text{,}$ значит $PE=BE-BP=8-\sqrt{c^2-16}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $APE$ (прямой угол при $P$): $A{E}^2=A{P}^2+P{E}^2\text{,}$ то есть

Подставим $A{C}^2=c^2+128$ и обозначим $s=\sqrt{c^2-16}$ (тогда $c^2=s^2+16$):

Умножая на $9\text{:}$ $s^2+144=9s^2-144s+720\text{,}$ откуда $8s^2-144s+576=0\text{,}$ то есть $s^2-18s+72=0\text{,}$ $s=6$ или $s=12\text{.}$

Значение $s=12$ даёт $BP=12>BE=8$ ($PE<0$) — не подходит. Остаётся $s=6\text{:}$

Проверка. $A{D}^2=\frac{2\cdot 52+2\cdot 180-208}{4}=\frac{256}{4}=64\text{,}$ $AD=8\text{.}$ Длина биссектрисы: $B{E}^2=AB\cdot BC-AE\cdot EC=104-2\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}=104-40=64\text{,}$ $BE=8\text{.}$ Условие $BA=BD=2\sqrt{13}$ гарантирует $BE\perp AD\text{.}$ Всё согласовано.

Ответ: $AB=2\sqrt{13},BC=4\sqrt{13},AC=6\sqrt{5}\text{.}$