Задача №20324

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=60\text{,}$ $AC=80\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Обозначим углы треугольника: $\angle BAC=\alpha \text{,}$ $\angle ABC=\beta \text{,}$ $\angle ACB=\gamma \text{.}$

Шаг 1. Угол между $AO$ и стороной $AC\text{.}$
Центральный угол $\angle AOC$ опирается на ту же дугу $AC\text{,}$ что и вписанный угол $\angle ABC=\beta \text{,}$ поэтому $\angle AOC=2\beta \text{.}$ Треугольник $AOC$ равнобедренный ($OA=OC=R$ — радиусы описанной окружности), значит

Шаг 2. Угол $\angle ADB\text{.}$
Пусть прямые $AO$ и $BD$ пересекаются в точке $P\text{.}$ По условию $BD\perp AO\text{,}$ поэтому $\angle APD=90^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $APD$ угол при вершине $A$ равен $\angle OAC=90^{\circ }-\beta \text{,}$ следовательно

Шаг 3. Находим $AD\text{.}$
В треугольнике $ABD\text{:}$ $\angle BAD=\alpha \text{,}$ $\angle ADB=\beta \text{,}$ значит $\angle ABD=180^{\circ }-\alpha -\beta =\gamma \text{.}$ По теореме синусов

В самом треугольнике $ABC$ по теореме синусов $\frac{AC}{\sin \beta }=\frac{AB}{\sin \gamma }\text{,}$ откуда $\frac{\sin \gamma }{\sin \beta }=\frac{AB}{AC}=\frac{60}{80}=\frac{3}{4}\text{.}$

Поэтому

Шаг 4. Ответ.
Точка $D$ лежит на стороне $AC$ ($AD=45<80$), значит

Ответ: $CD=35\text{.}$