Задача №19995

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B\text{,}$ в отношении $5:4\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=18\text{.}$

Пусть высота, проведённая из вершины $B\text{,}$ пересекает прямую $AC$ в точке $H\text{;}$ тогда $BH\perp AC\text{.}$ Биссектриса угла $A$ выходит из точки $A$ и пересекает эту высоту в точке $P\text{,}$ причём по условию $BP:PH=5:4$ (считая от $B$).

Рассмотрим треугольник $ABH\text{.}$ Он прямоугольный ($\angle H=90^{\circ }$), а точка $H$ лежит на прямой $AC\text{,}$ поэтому $\angle BAH=\angle BAC=\angle A\text{.}$ Отрезок $AP$ — биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABH\text{,}$ проведённая к стороне $BH\text{.}$ По свойству биссектрисы треугольника:

Значит, $\frac{AB}{AH}=\frac{5}{4}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ — это проекция гипотенузы $AB$ на прямую $AC\text{,}$ поэтому $AH=AB\cos A\text{.}$ Тогда

Отсюда $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}\text{.}$

По теореме синусов для треугольника $ABC$ сторона $BC$ лежит против угла $A\text{:}$

откуда $R=15\text{.}$

Ответ: $15\text{.}$