Задача №20515

Решите неравенство $(x^2+x-12)(x^2-9x+18)\ge 0\text{.}$

Разложим каждый множитель на линейные скобки.

Первый трёхчлен $x^2+x-12\text{:}$ по теореме Виета корни $3$ и $-4\text{,}$ значит $x^2+x-12=(x-3)(x+4)\text{.}$

Второй трёхчлен $x^2-9x+18\text{:}$ корни $3$ и $6\text{,}$ значит $x^2-9x+18=(x-3)(x-6)\text{.}$

Неравенство принимает вид:

Множитель $(x-3{)}^2\ge 0$ при любом $x\text{.}$ Поэтому:

• при $x=3$ левая часть равна $0$ — неравенство выполнено (точка входит в ответ);
• при $x\ne 3$ имеем $(x-3{)}^2>0\text{,}$ и знак произведения совпадает со знаком $(x+4)(x-6)\text{.}$ Нужно $(x+4)(x-6)\ge 0\text{,}$ то есть $x\le -4$ или $x\ge 6\text{.}$

Объединяя, получаем $x\le -4\text{,}$ либо $x=3\text{,}$ либо $x\ge 6\text{.}$

Проверка: при $x=0$ (внутри интервала $(-4;6)\text{,}$ не равно $3$): $(0+0-12)(0-0+18)=(-12)\cdot 18<0$ — не входит, что согласуется с ответом.

Ответ: $\left(-\infty ;-4\right]\cup \{3\}\cup \left[6;+\infty \right)\text{.}$