Задача №20068

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Обозначим половины диагоналей $OA=p$ и $OB=q\text{.}$ Тогда сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника $AOB$ с катетами $p$ и $q\text{:}$

Расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ — это высота $OH$ прямоугольного треугольника $AOB\text{,}$ опущенная из вершины прямого угла $O$ на гипотенузу. Она равна

Пусть диагональ, равная $72\text{,}$ — это $AC\text{,}$ тогда $p=OA=36\text{.}$ По условию $OH=18\text{:}$

Возведём в квадрат: $4q^2=1296+q^2\text{,}$ откуда $3q^2=1296\text{,}$ $q^2=432\text{,}$ $q=12\sqrt{3}\text{.}$

Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, поэтому в треугольнике $AOB$ угол $OAB$ — половина угла ромба при вершине $A\text{.}$ Тогда

значит $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ а угол ромба при вершине $A$ равен $60^{\circ }\text{.}$

Соседний угол ромба (сумма соседних углов равна $180^{\circ }$) равен $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Проверка: сторона $AB=\sqrt{1296+432}=\sqrt{1728}=24\sqrt{3}\text{,}$ тогда $OH=\frac{36\cdot 12\sqrt{3}}{24\sqrt{3}}=\frac{432}{24}=18\text{.}$ Верно.

Ответ: $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$