Задача №20507

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{.}$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E\text{.}$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD\text{,}$ если $AD=14\text{,}$ $BC=7\text{.}$

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=7$ и $AD=14\text{;}$ боковая сторона $AB\perp BC\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ то $AB\perp AD$ тоже, то есть $ABCD$ — прямоугольная трапеция с прямыми углами при вершинах $A$ и $B\text{.}$ Окружность проходит через $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E\text{.}$

Расстояния концов хорды $CD$ до касательной $AB\text{.}$
Прямая $AB$ — касательная. Найдём расстояния от $C$ и $D$ до неё.

• Так как $CB\perp AB\text{,}$ расстояние от $C$ до прямой $AB$ равно $CB=7\text{.}$
• Так как $DA\perp AB\text{,}$ расстояние от $D$ до прямой $AB$ равно $DA=14\text{.}$

Углы между касательной и хордами.
Проведём хорды $EC$ и $ED\text{.}$ По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной $AB$ и хордой $EC$ равен вписанному углу $\angle EDC\text{,}$ опирающемуся на дугу $EC\text{;}$ аналогично угол между $AB$ и хордой $ED$ равен вписанному углу $\angle ECD\text{.}$

Расстояние от $C$ до прямой $AB$ выражается через хорду $EC$ и этот угол:

Аналогично для $D\text{:}$

Расстояние от $E$ до $CD\text{.}$
Пусть $EF$ — перпендикуляр из $E$ на прямую $CD$ (искомое расстояние). Опустив высоту из $E$ в треугольнике $ECD$ на основание $CD\text{,}$ получаем два выражения:

Перемножим их:

Таким образом,

Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ есть среднее геометрическое расстояний от концов хорды $CD$ до касательной и не зависит от высоты трапеции.

Ответ: $7\sqrt{2}\text{.}$