Задача №20116

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{.}$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E\text{.}$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD\text{,}$ если $AD=12\text{,}$ $BC=10\text{.}$

Дано. Трапеция $ABCD\text{,}$ боковая сторона $AB\perp BC\text{.}$ Так как $BC\parallel AD$ (основания трапеции), то и $AB\perp AD\text{:}$ это прямоугольная трапеция с прямыми углами при вершинах $A$ и $B\text{.}$ Прямая $AB$ касается окружности в точке $E\text{,}$ окружность проходит через $C$ и $D\text{.}$ $AD=12\text{,}$ $BC=10\text{.}$

Расстояния до касательной. Точки $B$ и $A$ лежат на прямой $AB\text{.}$ Поскольку $CB\perp AB$ и $DA\perp AB\text{,}$ расстояния от точек $C$ и $D$ до прямой $AB$ равны длинам этих перпендикуляров:

Углы между касательной и хордами. По теореме об угле между касательной и хордой (угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу):

• для хорды $EC\text{:}$ угол между касательной $AB$ и $EC$ равен вписанному углу $\angle EDC\text{.}$ Обозначим $\beta =\angle EDC\text{.}$ Тогда в прямоугольном треугольнике $EBC$ ($\angle B=90^{\circ }$) катет $CB$ лежит против угла $\angle BEC=\beta \text{:}$

• для хорды $ED\text{:}$ угол между касательной $AB$ и $ED$ равен вписанному углу $\angle ECD\text{.}$ Обозначим $\gamma =\angle ECD\text{.}$ Тогда в прямоугольном треугольнике $EAD$ ($\angle A=90^{\circ }$) катет $DA$ лежит против угла $\angle AED=\gamma \text{:}$

Расстояние от $E$ до $CD\text{.}$ Пусть $EH\perp CD\text{,}$ $EH$ — искомое расстояние. В треугольнике $ECD$ высоту из $E$ можно выразить через любую из боковых сторон и прилежащий угол:

Перемножив эти два выражения для $EH\text{:}$

Вычисление.

Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ равно среднему геометрическому расстояний от $C$ и $D$ до касательной и не зависит от высоты трапеции.

Ответ: $2\sqrt{30}\text{.}$