Задача №20502

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM\text{.}$ Найдите градусную меру угла $A\text{,}$ если $\angle C=51^{\circ }$ и $BM=AM=MC\text{.}$

Медиана $BM$ проведена к стороне $AC\text{,}$ поэтому $M$ — середина $AC\text{,}$ то есть $AM=MC\text{.}$ По условию $BM=AM=MC\text{,}$ значит точка $M$ равноудалена от вершин $A\text{,}$ $B$ и $C\text{.}$

Треугольник $BMC$ равнобедренный ($BM=MC$), поэтому углы при основании $BC$ равны:

$$\angle MBC=\angle C=51^{\circ }.$$

Треугольник $ABM$ равнобедренный ($BM=AM$), поэтому углы при основании $AB$ равны:

$$\angle ABM=\angle A.$$

Угол $B$ треугольника складывается из этих двух углов:

$$\angle ABC=\angle ABM+\angle MBC=\angle A+51^{\circ }.$$

Запишем сумму углов треугольника $ABC\text{:}$

$$\angle A+\angle ABC+\angle C=180^{\circ },$$ $$\angle A+(\angle A+51^{\circ })+51^{\circ }=180^{\circ },$$ $$2\angle A+102^{\circ }=180^{\circ },$$ $$2\angle A=78^{\circ },\angle A=39^{\circ }.$$

(Заметим, что $\angle ABC=\angle A+51^{\circ }=90^{\circ }$ — это известное свойство: медиана, равная половине стороны, к которой она проведена, делает угол напротив прямым.)

Ответ: $39\text{.}$