Задача №18748

Медиана равностороннего треугольника равна $9\sqrt{3}\text{.}$ Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к стороне, является также высотой и биссектрисой.

Пусть сторона треугольника равна $a\text{,}$ а $BM$ — медиана к стороне $AC\text{.}$ Тогда $M$ — середина $AC\text{,}$ значит $AM=\frac{a}{2}\text{,}$ и $BM\perp AC\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $ABM$ по теореме Пифагора:

$$BM=\sqrt{A{B}^2-A{M}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

По условию $\frac{a\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\text{,}$ откуда $a=18\text{.}$

Ответ: 18.