Задача №20501

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=30\text{,}$ $AC=100\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Пусть $t$ — касательная к описанной окружности в точке $A\text{.}$ Радиус $OA$ перпендикулярен касательной, то есть $OA\perp t\text{.}$ По условию $BD\perp AO\text{,}$ значит прямые $BD$ и $t$ перпендикулярны одной прямой $AO\text{,}$ поэтому $BD\parallel t\text{.}$

Воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой (угол равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги):

• угол между касательной $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $\angle ACB=\angle C\text{;}$
• угол между касательной $t$ и хордой $AC$ равен вписанному углу $\angle ABC=\angle B\text{.}$

Так как $BD\parallel t\text{,}$ соответствующие (накрест лежащие) углы при секущих $AB$ и $AC$ дают:

В треугольнике $ABD\text{:}$ $\angle BAD=\angle A$ (это тот же угол $\angle BAC\text{,}$ ведь $D$ лежит на $AC$), $\angle ABD=\angle C\text{,}$ $\angle ADB=\angle B\text{.}$ Сумма $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$ — согласовано.

Значит треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны (по двум углам): соответствие вершин $A\leftrightarrow A\text{,}$ $B\leftrightarrow C\text{,}$ $D\leftrightarrow B\text{.}$ Отсюда

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ между $A$ и $C$ ($AD=9<100$), поэтому

Ответ: $CD=91\text{.}$