Задача №19789

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B\text{,}$ в отношении $25:24\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=14\text{.}$

Пусть $BH$ — высота треугольника из вершины $B$ ($H$ лежит на прямой $AC\text{,}$ $BH\perp AC$), а $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с этой высотой. По условию $BP:PH=25:24\text{.}$

Обозначим $\angle BAC=2\alpha \text{;}$ тогда биссектриса образует со сторонами $AB$ и $AC$ угол $\alpha \text{.}$

Отрезок $PH\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $APH$ угол при $H$ прямой, $\angle PAH=\alpha \text{,}$ а катет $AH=AB\cos 2\alpha$ (из прямоугольного треугольника $ABH$). Поэтому

Отрезок $BP\text{.}$ Вся высота $BH=AB\sin 2\alpha \text{,}$ значит

В числителе — синус разности: $\sin 2\alpha \cos \alpha -\cos 2\alpha \sin \alpha =\sin (2\alpha -\alpha )=\sin \alpha \text{.}$ Следовательно

Отношение. Тогда

Отсюда $\cos 2\alpha =\frac{24}{25}\text{,}$ то есть $\cos \angle A=\frac{24}{25}\text{,}$ и

Радиус описанной окружности. По теореме синусов для стороны $BC=14\text{,}$ лежащей против угла $A\text{:}$

откуда $R=25\text{.}$

Ответ: $R=25\text{.}$