Задача №20500

Постройте график функции

$y=\frac{(x^2-3x)\cdot |x|}{x-3}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

1. Упрощаем формулу. Область определения: $x\ne 3$ (знаменатель $x-3$).

В числителе вынесем множитель: $x^2-3x=x(x-3)\text{.}$ Тогда

$$y=\frac{x(x-3)\cdot |x|}{x-3}=x|x|,x\ne 3.$$

2. Раскрываем модуль. Получаем кусочную функцию:

$$y=x|x|=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\ge 0,x\ne 3,\\ -x^2,& x<0.\end{array}$$

График — правая ветвь параболы $y=x^2$ (при $x\ge 0$) и левая ветвь параболы $y=-x^2$ (при $x<0$), гладко склеенные в начале координат. Точка $x=3$ выколота: ей соответствовало бы значение $y=3\cdot 3=9\text{,}$ поэтому на графике «дырка» в точке $(3;9)\text{.}$

3. Ищем значения $m\text{.}$ Функция $y=x|x|$ строго возрастает и принимает каждое действительное значение ровно один раз (биекция $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$). Значение $y=9$ достигалось бы только при $x=3\text{,}$ но эта точка исключена. Значит, значение $9$ не принимается, а все остальные значения принимаются.

Горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график тогда и только тогда, когда $m$ — непринимаемое значение, то есть при $m=9\text{.}$

Ответ: $m=9\text{.}$