Задача №20332

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}\text{.}$

Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $T\text{,}$ а $O$ и $r$ — её центр и радиус.

Шаг 1. Длина касательной. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N\text{.}$ По свойству касательной и секущей (равенство степени точки):

откуда $AT=\sqrt{240}=4\sqrt{15}\text{.}$

Шаг 2. Синус угла. По условию $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}\text{,}$ поэтому

Шаг 3. Перпендикуляры из центра. Так как $T$ — точка касания, $OT\perp AB$ и $OT=r\text{.}$ Опустим перпендикуляр $OP$ на прямую $AC\text{;}$ перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит $P$ — середина $MN$ и

Шаг 4. Проецирование на прямую $AC\text{.}$ Спроецируем ломаную $A\to T\to O$ на прямую $AC\text{.}$ Проекция отрезка $AT$ (лежащего на $AB$) равна $AT\cos \angle BAC\text{;}$ отрезок $TO$ перпендикулярен $AB\text{,}$ поэтому его проекция на $AC$ равна $r\sin \angle BAC\text{.}$ Их сумма равна проекции $AO$ на $AC\text{,}$ то есть $AP\text{:}$

Проверка. Расстояние от $O$ до хорды $MN$ равно $\sqrt{r^2-M{P}^2}=\sqrt{16^2-11^2}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}\text{,}$ что согласуется с положением центра.

Ответ: $16$