Задача №20489

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF\text{,}$ если $AD=45\text{,}$ $BC=20\text{,}$ $CF:DF=4:1\text{.}$

Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $AB\text{;}$ она пересекает основание $AD$ в точке $K\text{,}$ а отрезок $EF$ — в точке $L\text{.}$

Тогда $ABLK$ и $BCFL\text{.}$.. — удобнее рассуждать напрямую через параллельный перенос. Проведём через $C$ прямую $CK\parallel AB\text{,}$ $K\in AD\text{,}$ $L$ — точка её пересечения с $EF\text{.}$

Четырёхугольники $ABCK$ и $EBCL$ — параллелограммы (две пары параллельных сторон), поэтому

В треугольнике $CKD$ отрезок $LF\parallel KD$ (обе прямые параллельны основаниям), значит треугольники $CLF$ и $CKD$ подобны по двум углам, и

По условию $CF:DF=4:1\text{,}$ поэтому $CF:CD=4:5\text{,}$ то есть $\frac{CF}{CD}=\frac{4}{5}\text{.}$ Тогда

Следовательно,

Ответ: $EF=40\text{.}$