Задача №20485

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M\text{.}$ Найдите $MC\text{,}$ если $AB=13\text{,}$ $DC=65\text{,}$ $AC=42\text{.}$

Так как $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M\text{,}$ рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM\text{.}$

1. Углы $\angle AMB$ и $\angle CMD$ равны как вертикальные.
2. Углы $\angle BAM$ и $\angle DCM$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB\parallel DC$ и секущей $AC\text{.}$

Значит, $△ABM\sim △CDM$ по двум углам (соответствие $A\leftrightarrow C\text{,}$ $B\leftrightarrow D$). Из подобия

Поэтому $AM=\frac{MC}{5}\text{.}$ Точка $M$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ поэтому

Отсюда $MC=42\cdot \frac{5}{6}=35\text{.}$

Ответ: $MC=35\text{.}$