Задача №20408

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AF=21\text{,}$ $BF=20\text{.}$

В трапеции $ABCD$ сторона $AB$ — боковая, значит основания $AD$ и $BC$ параллельны. Углы $A$ и $B$ — это углы при боковой стороне $AB\text{;}$ для параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ они являются односторонними, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

Лучи $AF$ и $BF$ — биссектрисы этих углов, поэтому

В треугольнике $ABF$ найдём угол при вершине $F\text{:}$

Значит, треугольник $ABF$ прямоугольный с прямым углом при вершине $F\text{,}$ а $AB$ — его гипотенуза. По теореме Пифагора:

Ответ: $29\text{.}$