Задача №20298

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD\text{,}$ если $BC=11\text{,}$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $126^{\circ }$ и $99^{\circ }\text{.}$

Шаг 1. Все вершины на одной окружности.
Точка $M$ равноудалена от всех вершин $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{,}$ значит эти четыре точки лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $r=MA=MB=MC=MD\text{.}$

Шаг 2. $AD$ — диаметр.
$M$ — середина стороны $AD\text{,}$ поэтому $A$ и $D$ лежат на окружности по разные стороны от центра на одной прямой: $A\text{,}$ $M\text{,}$ $D$ коллинеарны и $AM=MD=r\text{.}$ Значит $AD=2r$ — диаметр окружности.

Шаг 3. Четырёхугольник вписанный.
$ABCD$ вписан в эту окружность, поэтому суммы противоположных углов равны $180^{\circ }\text{.}$ Углы при вершинах $B$ и $C$ (вписанные) опираются на дуги:

Сложим: $\angle B+\angle C=\frac{⌣ADC+⌣BAD}{2}\text{.}$ Дуги $⌣ADC$ и $⌣BAD$ вместе покрывают всю окружность плюс лишнюю дугу $⌣AD$ (взятую дважды с той стороны, где нет $B\text{,}$ $C$). Поскольку $AD$ — диаметр, эта дуга равна $180^{\circ }\text{:}$

Шаг 4. Дуга $BC\text{.}$

откуда центральный угол $\angle BMC=⌣BC=90^{\circ }\text{.}$

Шаг 5. Находим радиус.
В треугольнике $BMC$ имеем $MB=MC=r$ и $\angle BMC=90^{\circ }$ — он прямоугольный равнобедренный, поэтому

Так как $BC=11\text{,}$ то $r=\frac{11}{\sqrt{2}}=\frac{11\sqrt{2}}{2}\text{,}$ и

Ответ: $AD=11\sqrt{2}\text{.}$