Задача №20126

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Обозначения. Пусть $a$ — большее основание, $b$ — меньшее основание, $c$ — боковая сторона равнобедренной трапеции, $h$ — её высота.

Шаг 1. Условие вписанной окружности. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Для трапеции это даёт

Шаг 2. Стороны. Периметр $P=a+b+2c=120\text{.}$ Подставив $a+b=2c\text{,}$ получаем $2c+2c=120\text{,}$ откуда

Шаг 3. Высота. Площадь трапеции $S=\frac{a+b}{2}\cdot h=540\text{.}$ Так как $a+b=60\text{:}$

(Заодно радиус вписанной окружности $r=\frac{h}{2}=9$ — согласовано.)

Шаг 4. Основания по отдельности. Опустив высоты из вершин меньшего основания, для боковой стороны по теореме Пифагора получаем

Отсюда ${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=900-324=576\text{,}$ значит $\frac{a-b}{2}=24$ и $a-b=48\text{.}$

Вместе с $a+b=60$ находим $a=54,b=6\text{.}$

Шаг 5. Точка пересечения диагоналей. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O\text{.}$ Треугольники, образованные точкой $O$ и основаниями, подобны (накрест лежащие углы при параллельных основаниях), причём коэффициент подобия равен отношению оснований $b:a\text{.}$ Поэтому расстояния от $O$ до оснований пропорциональны основаниям:

Следовательно

Ответ: $1,8\text{.}$