Задача №20482

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AF=20\text{,}$ $BF=15\text{.}$

В трапеции $ABCD$ сторона $AB$ — боковая, значит основания $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ — секущая. Углы $A$ и $B$ при боковой стороне — внутренние односторонние, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

Лучи $AF$ и $BF$ — биссектрисы этих углов, поэтому

В треугольнике $ABF$ сумма двух его углов при основании $AB$ равна

Тогда третий угол $\angle AFB=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник $ABF$ прямоугольный с прямым углом при вершине $F\text{,}$ а $AB$ — его гипотенуза.

По теореме Пифагора:

Ответ: $25\text{.}$