Задача №19868

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB\text{;}$ по условию $OH=13\text{.}$

Пусть данная диагональ проходит через вершину $A\text{,}$ тогда $AC=52\text{,}$ и точка $O$ делит её пополам, поэтому $AO=\frac{52}{2}=26\text{.}$

Рассмотрим треугольник $AOH\text{:}$ он прямоугольный, так как $OH\perp AB\text{.}$ В нём катет $OH=13$ лежит против угла $OAH\text{,}$ а гипотенузой служит $AO=26\text{.}$ Тогда

откуда $\angle OAH=30^{\circ }\text{.}$

Луч $AO$ (диагональ $AC$) — биссектриса угла $A$ ромба, поэтому

Соседние углы ромба (как параллелограмма) в сумме дают $180^{\circ }\text{,}$ значит

Замечание: результат не зависит от того, какая из диагоналей равна $52\text{:}$ её половина всегда равна $26\text{,}$ и при $OH=13$ получаем $\sin =\frac{1}{2}\text{,}$ то есть половину угла $30^{\circ }\text{,}$ а сам угол ромба — $60^{\circ }\text{.}$

Ответ: углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$