Задача №20480

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите $AC\text{,}$ если диаметр окружности равен 15, а $AB=4\text{.}$

Обозначим центр окружности $O\text{;}$ по условию он лежит на стороне $AC\text{.}$ Радиус равен половине диаметра: $r=\frac{15}{2}=7,5\text{.}$

Шаг 1. Перпендикулярность радиуса и касательной.
Прямая $AB$ касается окружности в точке $B\text{,}$ поэтому радиус $OB\text{,}$ проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OB\perp AB\text{.}$ Значит, треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{,}$ причём $OB=r=7,5\text{,}$ $AB=4\text{.}$

Шаг 2. Находим $AO$ по теореме Пифагора.

Шаг 3. Находим $AC\text{.}$
Точка $O$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ а вершина $C$ лежит на окружности, поэтому $OC=r=7,5\text{.}$ Центр $O$ расположен между $A$ и $C$ (так как $AO=8,5>r\text{,}$ точка $A$ лежит вне окружности), значит

Проверка (степень точки $A$). Квадрат касательной $A{B}^2=16$ должен равняться степени точки $A$ относительно окружности: $A{O}^2-r^2=72,25-56,25=16\text{.}$ Совпадает.

Ответ: $16\text{.}$