Постройте график функции
y=−1−x(x2+2,25)(x+1).
Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
1. Упрощаем функцию. Заметим, что знаменатель −1−x=−(x+1). При x=−1 дробь сокращается:
y=−(x+1)(x2+2,25)(x+1)=−(x2+2,25)=−x2−2,25.Значит, график — парабола y=−x2−2,25 с ветвями вниз и вершиной (0;−2,25), но точка с x=−1 выколота (в ней знаменатель обращается в ноль).
Координата выколотой точки: при x=−1 имеем y=−(−1)2−2,25=−3,25, то есть исключена точка (−1;−3,25).
2. Пересечение с прямой y=kx. Прямая y=kx проходит через начало координат. Приравниваем:
kx=−x2−2,25⟺x2+kx+2,25=0.Число точек пересечения с полной параболой определяется дискриминантом D=k2−9.
3. Разбираем случаи «ровно одна общая точка».
Случай А — касание (D=0). k2−9=0⇒k=±3. Тогда единственный корень x=−2k: при k=3 это x=−1,5, при k=−3 это x=1,5. Ни один не равен −1, поэтому обе прямые дают ровно одну общую точку.
Случай Б — прямая проходит через выколотую точку. Если один из двух корней приходится на x=−1, то эта точка не принадлежит графику, и остаётся ровно одна общая точка. Подставим x=−1: 1−k+2,25=0⇒k=3,25. При этом D=3,252−9=1,5625>0 — два корня; по теореме Виета произведение корней равно 2,25, значит второй корень x=−12,25=−2,25. Корень x=−1 выколот, остаётся единственная точка x=−2,25. Значит k=3,25 подходит.
При остальных k либо две общие точки (D>0, ни один корень не выколот), либо ни одной (D<0).
Ответ: k=−3; 3; 3,25.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения