Задача №19811

Постройте график функции

$y=|x^2-4x+3|\text{.}$

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Шаг 1. Строим параболу $y=x^2-4x+3\text{.}$

Нули: $x^2-4x+3=0\Rightarrow (x-1)(x-3)=0\text{,}$ то есть $x_1=1\text{,}$ $x_2=3\text{.}$

Вершина: $x_0=\frac{4}{2}=2\text{,}$ $y_0=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1\text{.}$

Ветви направлены вверх, поэтому на промежутке $(1;3)$ парабола лежит ниже оси $Ox\text{,}$ а вне отрезка $[1;3]$ — выше (или на оси в точках $1$ и $3$).

Шаг 2. Переходим к модулю.

$$y=|x^2-4x+3|=\{\begin{array}{ll}{x}^2-4x+3,& x\le 1\text{ или }x\ge 3,\\ -(x^2-4x+3),& 1<x<3.\end{array}$$

График получается из параболы отражением её части, лежащей ниже оси $Ox\text{,}$ симметрично относительно оси $Ox\text{.}$ Возникает «горб» на отрезке $[1;3]$ с вершиной в точке $(2;1)$ (так как $|-1|=1$) и «нулями» в точках $x=1$ и $x=3\text{.}$

Шаг 3. Пересечение с прямой $y=c$ (прямая, параллельная оси абсцисс).

Число общих точек — число корней уравнения $|x^2-4x+3|=c\text{:}$

• $c<0$ — общих точек нет;
• $c=0$ — 2 точки ($x=1$ и $x=3$);
• $0<c<1$ — 2 точки на внешних ветвях (уравнение $x^2-4x+3=c$ имеет 2 корня, так как $c>-1$) и ещё 2 точки на «горбе» (уравнение $x^2-4x+3=-c$ имеет 2 корня, так как $-c>-1$) — итого 4 точки;
• $c=1$ — 2 точки на ветвях и 1 точка-вершина горба $(2;1)$ — 3 точки;
• $c>1$ — 2 точки.

Больше четырёх точек быть не может: каждое из уравнений $x^2-4x+3=\pm c$ квадратное и даёт не более двух корней.

Наибольшее число достигается, например, при $c=0,5\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$