Постройте график функции
y=−1−x(x2+4)(x+1).Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
1. Упростим функцию.
Область определения: знаменатель −1−x=0, то есть x=−1.
Заметим, что −1−x=−(x+1), поэтому
y=−(x+1)(x2+4)(x+1)=−(x2+4)=−x2−4,x=−1.2. График.
Это парабола y=−x2−4 с ветвями вниз и вершиной (0;−4), из которой выколота точка с абсциссой x=−1: y(−1)=−1−4=−5, то есть выколота точка (−1;−5).
3. Общие точки с прямой y=kx.
Прямая y=kx проходит через начало координат. Приравняем:
kx=−x2−4⟺x2+kx+4=0,x=−1.Дискриминант: D=k2−16.
Случай A. Касание (D=0). k2=16, то есть k=±4.
Случай B. Два корня (D>0), но один из них — выколотая точка. Подставим x=−1 в уравнение: 1−k+4=0, откуда k=5. Тогда x2+5x+4=0 даёт x1=−1 (выколота) и x2=−4. Остаётся ровно одна общая точка (−4;−20).
Случай C. При ∣k∣<4 общих точек нет; при ∣k∣>4 и k=5 оба корня подходят — общих точек две.
Ответ: k=−4; k=4; k=5.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения