Постройте график функции y=((x^(2)+4)(x+1))/(-1-x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упростим функцию. Область определения: знаменатель -1-x!= 0, то есть x!= -1. Заметим, что -1-x=-(x+1), поэтому y=((x^(2)+4)(x+1))/(-(x+1))=-(x^(2)+4)=-x^(2)-4, x!= -1. График. Это парабола y=-x^(2)-4 с ветвями вниз и вершиной (0;-4), из которой выколота точка с абсциссой x=-1: y(-1)=-1-4=-5, то есть выколота точка (-1;-5). Общие точки с прямой y=kx. Прямая y=kx проходит через начало координат. Приравняем: kx=-x^(2)-4 x^(2)+kx+4=0, x!= -1. Дискриминант: D=k^(2)-16. Случай A. Касание (D=0). k^(2)=16, то есть k=+- 4. при k=4: x^(2)+4x+4=0, x=-2!= -1 — ровно одна общая точка (-2;-8); при k=-4: x^(2)-4x+4=0, x=2!= -1 — ровно одна общая точка (2;-8). Случай B. Два корня (D>0), но один из них — выколотая точка. Подставим x=-1 в уравнение: 1-k+4=0, откуда k=5. Тогда x^(2)+5x+4=0 даёт x_(1)=-1 (выколота) и x_(2)=-4. Остаётся ровно одна общая точка (-4;-20). Случай C. При |k|<4 общих точек нет; при |k|>4 и k!= 5 оба корня подходят — общих точек две. Ответ: k=-4; k=4; k=5.

-4; 4; 5