Задача №20006

Постройте график функции

$y=\frac{(0,75x^2+1,5x)\cdot |x|}{x+2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Упрощение формулы. Разложим числитель на множители:

$$0,75x^2+1,5x=0,75x(x+2).$$

Тогда при $x+2\ne 0\text{,}$ то есть при $x\ne -2\text{:}$

$$y=\frac{0,75x(x+2)\cdot |x|}{x+2}=0,75x|x|.$$

Область определения: $x\ne -2$ (в точке $x=-2$ знаменатель обращается в нуль).

Раскрытие модуля. Получаем кусочную функцию:

$$y=\{\begin{array}{ll}0,75x^2,& x\ge 0,\\ -0,75x^2,& x<0.\end{array}$$

Это две половинки парабол: правая ветвь $y=0,75x^2$ идёт вверх от начала координат, левая ветвь $y=-0,75x^2$ идёт вниз. Функция $y=0,75x|x|$ строго возрастает на всей числовой прямой, при $x\to -\infty$ значения $y\to -\infty \text{,}$ при $x\to +\infty$ значения $y\to +\infty \text{.}$

Выколотая точка. Точка $x=-2$ исключена. Ей соответствует значение

$$y=-0,75\cdot (-2{)}^2=-0,75\cdot 4=-3.$$

Значит, на графике выколота точка $(-2;-3)\text{.}$

Число общих точек с прямой $y=m\text{.}$ Так как функция строго возрастает и непрерывна, каждая горизонтальная прямая $y=m$ пересекает график ровно в одной точке — кроме значения, которое достигается только в выколотой точке. Значение $y=-3$ достигается лишь при $x=-2$ (из $-0,75x^2=-3$ следует $x^2=4\text{,}$ $x=-2\text{,}$ так как ветвь при $x<0$), а эта точка выколота. Поэтому прямая $y=-3$ не имеет с графиком ни одной общей точки, а при всех остальных $m$ есть ровно одна общая точка.

Ответ: $m=-3\text{.}$