Задача №20134

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть $BE$ — биссектриса угла $B$ ($E$ на $AC$), $AD$ — медиана ($D$ — середина $BC$), а $P$ — точка их пересечения. По условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=28\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ Прямая $BE$ содержит биссектрису угла $ABD$ (так как $D$ лежит на $BC\text{,}$ то $\angle ABD=\angle ABC\text{,}$ а $BE$ делит этот угол пополам). При этом $BP\perp AD\text{,}$ значит в треугольнике $ABD$ биссектриса из вершины $B$ совпадает с высотой. Треугольник, у которого биссектриса является высотой, равнобедренный, поэтому

Поскольку $D$ — середина $BC\text{,}$ то $BD=\frac{1}{2}BC\text{,}$ откуда $BC=2AB\text{.}$

Кроме того, в равнобедренном треугольнике высота $BP$ является и медианой, поэтому $P$ — середина $AD\text{:}$

Шаг 2. Находим отношение $BP:PE\text{.}$

Биссектриса $BE$ делит сторону $AC$ в отношении $AE:EC=AB:BC=1:2\text{.}$

Найдём, в каком отношении точка $P$ делит отрезок $BE\text{.}$ Расставим массы: из $AE:EC=1:2$ берём массы $m_A=2\text{,}$ $m_C=1\text{;}$ так как $D$ — середина $BC\text{,}$ то $m_B=m_C=1\text{.}$ Тогда для точки $E=A+C$ масса $m_E=3\text{,}$ а вдоль $BE\text{:}$

Значит $BP=\frac{3}{4}\cdot 28=21\text{.}$

Шаг 3. Находим стороны.

В прямоугольном треугольнике $ABP$ ($\angle APB=90^{\circ }$): катеты $AP=14\text{,}$ $BP=21\text{,}$ поэтому

Тогда $BC=2AB=14\sqrt{13}\text{,}$ а $B{C}^2=2548\text{.}$

Сторону $AC=b$ найдём по формуле длины медианы $AD\text{:}$

Подставляя $AD=28\text{:}$

Проверка. По формуле длины биссектрисы $B{E}^2=AB\cdot BC-AE\cdot EC\text{.}$ Здесь $AE=\frac{b}{3}=7\sqrt{5}\text{,}$ $EC=\frac{2b}{3}=14\sqrt{5}\text{,}$ поэтому $AE\cdot EC=490\text{,}$ $AB\cdot BC=1274\text{,}$ и $B{E}^2=1274-490=784\text{,}$ то есть $BE=28$ — совпадает с условием.

Ответ: $AB=7\sqrt{13}\text{,}$ $BC=14\sqrt{13}\text{,}$ $AC=21\sqrt{5}\text{.}$