Задача №20043

Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r_1=42$ (на ней точки $A\text{,}$ $B$), $O_2$ — центр окружности радиуса $r_2=84$ (на ней точки $C\text{,}$ $D$). При внешнем касании

Параллельность $AB$ и $CD\text{.}$ Прямые $AC$ и $BD$ — общие внешние касательные, симметричные относительно линии центров $O_1{O}_2\text{.}$ Значит, точки касания $A$ и $B$ на первой окружности симметричны относительно $O_1{O}_2\text{,}$ поэтому хорда $AB$ перпендикулярна $O_1{O}_2\text{.}$ Аналогично $CD\perp O_1{O}_2\text{.}$ Следовательно, $AB\parallel CD\text{,}$ и искомое расстояние равно расстоянию между их основаниями (точками пересечения с линией центров).

Угол наклона касательной. Для общей внешней касательной двух окружностей угол $\theta$ между касательной и линией центров удовлетворяет

Положение оснований хорд. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому он составляет с линией центров угол $90^{\circ }-\theta \text{.}$ Проекция точки касания на линию центров, отсчитанная от своего центра в сторону меньшей окружности, равна

Для первой окружности: смещение $r_1\sin \theta =42\cdot \frac{1}{3}=14\text{.}$ Для второй: $r_2\sin \theta =84\cdot \frac{1}{3}=28\text{.}$ Оба смещения направлены в одну сторону (к меньшей окружности).

Расстояние. Расположим центры на прямой: $O_1$ в точке $0\text{,}$ $O_2$ в точке $126\text{.}$ Основание хорды $AB$ находится в точке $0-14=-14\text{,}$ а основание хорды $CD$ — в точке $126-28=98\text{.}$ Тогда

Ответ: $112\text{.}$