Задача №20189

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей радиусов $r=36$ и $R=45\text{.}$ Окружности касаются внешним образом, значит $O_1{O}_2=r+R=36+45=81\text{.}$

$AC$ и $BD$ — общие внешние касательные. Вся конфигурация симметрична относительно линии центров $O_1{O}_2\text{:}$ точки $A$ и $B$ симметричны, $C$ и $D$ симметричны. Поэтому хорда $AB$ и хорда $CD$ перпендикулярны прямой $O_1{O}_2\text{,}$ а значит $AB\parallel CD\text{.}$ Искомое расстояние между ними равно отрезку $PQ\text{,}$ где $P=AB\cap O_1{O}_2\text{,}$ $Q=CD\cap O_1{O}_2\text{.}$

Угол наклона касательной. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_{1}A\perp AC$ и $O_{2}C\perp AC\text{,}$ поэтому $O_{1}A\parallel O_{2}C\text{.}$ Опустим из $O_1$ перпендикуляр на прямую $O_{2}C\text{;}$ получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $O_1{O}_2=81$ и катетом $O_{2}C-O_{1}A=R-r=9$ (радиусы направлены в одну сторону). Если $\phi$ — угол между касательной $AC$ и линией центров, то

Положение точки $P\text{.}$ Радиус $O_{1}A$ перпендикулярен касательной, поэтому $O_{1}A$ составляет угол $\phi$ с перпендикуляром к линии центров. Проекция $A$ на линию центров — это точка $P\text{,}$ и

причём $P$ лежит по сторону от $O_1\text{,}$ противоположную $O_2$ (точка касания «сдвинута назад» от меньшей окружности).

Положение точки $Q\text{.}$ Аналогично для второй окружности

и $Q$ лежит со стороны $O_1$ от центра $O_2$ (между центрами).

Складываем отрезки вдоль линии центров. Точка $P$ вынесена за $O_1$ на $4\text{,}$ точка $Q$ не доходит до $O_2$ на $5\text{:}$

Ответ: $80\text{.}$