Задача №20460

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите $AC\text{,}$ если диаметр окружности равен 6,4, а $AB=6\text{.}$

Обозначим центр окружности $O\text{;}$ он лежит на стороне $AC\text{.}$ Радиус $r$ равен половине диаметра: $r=\frac{6,4}{2}=3,2\text{.}$

Шаг 1. Радиус в точку касания. Прямая $AB$ касается окружности в точке $B\text{,}$ значит радиус $OB$ перпендикулярен касательной: $OB\perp AB\text{.}$ Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{.}$ В нём $OB=r=3,2$ (катет), $AB=6$ (катет).

Шаг 2. Гипотенуза $AO$ по теореме Пифагора.

Шаг 3. Находим $AC\text{.}$ Точка $O$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ а вершина $C$ лежит на окружности, поэтому $OC=r=3,2\text{.}$ Так как $O$ между $A$ и $C\text{:}$

Проверка (степень точки $A$). Секущая из $A$ через центр пересекает окружность в точках на расстояниях $AO-r=3,6$ и $AO+r=10$ от $A\text{.}$ Степень точки: $(AO-r)(AO+r)=3,6\cdot 10=36=A{B}^2$ — совпадает с квадратом касательной. Ответ верен.

Ответ: $AC=10\text{.}$