Задача №20295

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите диаметр окружности, если $AB=9\text{,}$ $AC=12\text{.}$

Обозначим центр окружности $O$ — он лежит на стороне $AC\text{.}$ Пусть радиус окружности равен $R\text{.}$

Шаг 1. Радиусы. Окружность проходит через вершину $C\text{,}$ значит $OC=R\text{.}$ Окружность касается прямой $AB$ в точке $B\text{,}$ значит $OB=R\text{.}$

Шаг 2. Прямой угол. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB\perp AB\text{.}$ Значит, треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{,}$ и его гипотенуза — это отрезок $AO\text{.}$

Шаг 3. Выражаем $AO\text{.}$ Точка $O$ лежит на $AC$ между $A$ и $C\text{,}$ поэтому

Шаг 4. Теорема Пифагора для треугольника $ABO\text{:}$

Раскрываем скобки:

Шаг 5. Диаметр.

Проверка: $AO=12-2,625=9,375\text{,}$ тогда $A{O}^2=87,890625$ и $A{B}^2+O{B}^2=81+2,625^2=81+6,890625=87,890625$ — совпадает.

Ответ: $5,25\text{.}$