Задача №20459

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть основания трапеции равны $a$ (большее) и $b$ (меньшее), а боковые стороны равны $c$ (трапеция равнобедренная).

Шаг 1. Условие вписанной окружности. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны:

Тогда периметр $P=a+b+2c=2c+2c=4c=80\text{,}$ откуда $c=20$ и $a+b=40\text{.}$

Шаг 2. Высота. Площадь трапеции $S=\frac{a+b}{2}\cdot h=20h=320\text{,}$ значит $h=16\text{.}$

Шаг 3. Основания. Опустив высоты из вершин меньшего основания, для боковой стороны получаем

Отсюда ${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=400-256=144\text{,}$ то есть $\frac{a-b}{2}=12$ и $a-b=24\text{.}$

Вместе с $a+b=40$ получаем $a=32\text{,}$ $b=8\text{.}$

Шаг 4. Точка пересечения диагоналей. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O\text{.}$ Треугольники, отсекаемые диагоналями на основаниях, подобны с коэффициентом $\frac{b}{a}$ (по двум парам накрест лежащих углов при параллельных основаниях). Поэтому расстояния от $O$ до оснований относятся так же:

где $h_{\text{м}}$ — расстояние до меньшего основания, $h_{\text{б}}$ — до большего, причём $h_{\text{м}}+h_{\text{б}}=h=16\text{.}$

Тогда $h_{\text{м}}=16\cdot \frac{1}{1+4}=\frac{16}{5}=3,2\text{.}$

Ответ: $3,2\text{.}$