Задача №18839

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей, $OH\perp AB\text{,}$ $H\in AB\text{.}$

1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и взаимно перпендикулярны, поэтому $\angle AOB=90^{\circ }\text{,}$ а $\angle OAB=\frac{1}{2}\angle A\text{.}$
2. В прямоугольном треугольнике $AOH$ ($\angle AHO=90^{\circ }$) острые углы дают в сумме $90^{\circ }\text{:}$ $\angle OAH+\angle AOH=90^{\circ }\text{.}$
3. Перпендикуляр $OH$ образует с диагональю $AC$ угол $\angle AOH\text{,}$ а с диагональю $BD$ — угол $\angle BOH=90^{\circ }-\angle AOH=\angle OAB\text{.}$

Случай 1: угол с диагональю $BD$ равен $32^{\circ }\text{,}$ тогда $\angle OAB=32^{\circ }$ и $\angle A=2\cdot 32^{\circ }=64^{\circ }$ — острый угол ромба.

Случай 2: угол с диагональю $AC$ равен $32^{\circ }\text{,}$ тогда $\angle OAB=90^{\circ }-32^{\circ }=58^{\circ }\text{,}$ $\angle A=116^{\circ }$ — это тупой угол, и острый угол ромба равен $180^{\circ }-116^{\circ }=64^{\circ }\text{.}$

В обоих случаях острый угол ромба равен $64^{\circ }\text{.}$

Ответ: 64.