Задача №19465

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 10, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,8\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$

Тогда $AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{,}$ а угол $\angle AOB=90^{\circ }\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при $O$):

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC},$$

откуда $BO=OC\cdot \mathrm{tg}\angle BCA=5\cdot 0,8=4.$

Значит, вторая диагональ $BD=2BO=2\cdot 4=8.$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 8=40.$$

Ответ: $40\text{.}$