Задача №20449

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD\text{,}$ если $AB=16\text{,}$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 15 и 8.

Расстояние от центра окружности до хорды измеряется по перпендикуляру, а перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам.

Шаг 1. Находим радиус по хорде $AB\text{.}$
Пусть $O$ — центр окружности, $M$ — середина хорды $AB\text{.}$ Тогда $OM=15$ — расстояние до хорды, а $AM=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8\text{.}$ Треугольник $OMA$ прямоугольный ($OM\perp AB$), по теореме Пифагора

Шаг 2. Находим полухорду $CD\text{.}$
Пусть $N$ — середина хорды $CD\text{,}$ $ON=8$ — расстояние до хорды. В прямоугольном треугольнике $ONC$ ($ON\perp CD$) гипотенуза $OC=R=17\text{,}$ поэтому

Шаг 3. Длина хорды $CD\text{.}$

Ответ: $30\text{.}$