Задача №19767

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=40$ и $CD=10$ вписан
в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$
причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диагонали $AC$ и $BD$ — это хорды окружности, пересекающиеся в точке $K\text{.}$ По теореме об угле между двумя пересекающимися хордами угол равен полусумме двух дуг, заключённых между сторонами угла и его вертикального угла:

Отсюда

Введём обозначения для вписанных углов, опирающихся на хорды $AB$ и $CD\text{.}$ Вписанный угол вдвое меньше своей дуги, поэтому положим

Тогда

По теореме синусов (или по формуле длины хорды через радиус описанной окружности) хорда, на которую опирается вписанный угол $\phi \text{,}$ равна $2R\sin \phi \text{.}$ Значит,

Разделив первое равенство на второе, получаем

Подставим $\beta =60^{\circ }-\alpha \text{:}$

Отсюда

По значению тангенса восстановим синус: в прямоугольном треугольнике с катетами $2$ (противолежащий) и $\sqrt{3}$ (прилежащий) гипотенуза равна $\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{7}\text{,}$ поэтому

Наконец, из $2R\sin \alpha =40\text{:}$

Проверка. Тогда $\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{4}=\frac{1}{2\sqrt{7}}\text{,}$ и $CD=2R\sin \beta =2\cdot 10\sqrt{7}\cdot \frac{1}{2\sqrt{7}}=10$ — совпадает с условием. Кроме того, $\alpha \approx 49,1^{\circ }\text{,}$ $\beta \approx 10,9^{\circ }\text{,}$ сумма $\approx 60^{\circ }$ — верно.

Ответ: $R=10\sqrt{7}\text{.}$