Задача №20437

Решите неравенство $\frac{1}{x}\ge \frac{1}{x-3}\text{.}$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

Числитель равен $-3$ и всегда отрицателен, поэтому дробь неотрицательна (а точнее, строго положительна) тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

Это квадратное неравенство выполняется между корнями $x=0$ и $x=3\text{:}$

Замечание: точки $x=0$ и $x=3$ исключены (в них знаменатели исходного неравенства обращаются в нуль), а равенства дробь достичь не может, так как числитель $-3\ne 0\text{.}$ Поэтому неравенство $\ge$ даёт открытый промежуток.

Проверка. При $x=1\text{:}$ $\frac{1}{1}=1\text{,}$ $\frac{1}{1-3}=-0,5\text{,}$ и $1\ge -0,5$ — верно (точка входит). При $x=4\text{:}$ $\frac{1}{4}=0,25\text{,}$ $\frac{1}{1}=1\text{,}$ и $0,25\ge 1$ — неверно (точка не входит). При $x=-1\text{:}$ $-1\ge -0,25$ — неверно (не входит). Всё согласуется с ответом.

Ответ: $(0;3)\text{.}$