Задача №19988

Решите неравенство $\frac{x^2}{x-7}\le x\text{.}$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

Поскольку $7>0\text{,}$ знак дроби совпадает со знаком $\frac{x}{x-7}\text{.}$ Решаем методом интервалов: нуль числителя $x=0$ (входит, неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=7$ (не входит, $x\ne 7$).

Расставляем знаки дроби $\frac{x}{x-7}$ по интервалам:

• при $x<0\text{:}$ $\frac{(-)}{(-)}>0\text{;}$
• при $0<x<7\text{:}$ $\frac{(+)}{(-)}<0\text{;}$
• при $x>7\text{:}$ $\frac{(+)}{(+)}>0\text{.}$

Неравенство $\le 0$ выполнено на промежутке $0\le x<7$ (точка $x=0$ включается, так как в ней дробь равна нулю).

Проверка: при $x=3$ имеем $\frac{9}{-4}=-2,25\le 3$ — верно; при $x=8\text{:}$ $\frac{64}{1}=64\le 8$ — неверно, значит $x>7$ не подходит.

Ответ: $[0;7)\text{.}$