Задача №20427

Решите уравнение $x^2-2x+\sqrt{5-x}=\sqrt{5-x}+24\text{.}$

Область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5-x\ge 0\text{,}$ то есть $x\le 5\text{.}$

Упрощение. В уравнении $x^2-2x+\sqrt{5-x}=\sqrt{5-x}+24$ слагаемое $\sqrt{5-x}$ есть в обеих частях. Вычтем его из обеих частей:

Решение квадратного уравнения. Перенесём всё в левую часть:

Дискриминант: $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-24)=4+96=100\text{,}$ $\sqrt{D}=10\text{.}$

Отбор корней по ОДЗ. Условие $x\le 5\text{:}$ корень $x_1=6$ не входит в ОДЗ и отбрасывается; корень $x_2=-4$ подходит ($-4\le 5$).

Проверка $x=-4\text{:}$ $\sqrt{5-(-4)}=\sqrt{9}=3\text{;}$ левая часть $16+8+3=27\text{,}$ правая часть $3+24=27$ — верно.

Ответ: $-4\text{.}$