Задача №20426

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ лежит на стороне $AB\text{.}$ Радиус окружности равен 10. Найдите $BC\text{,}$ если $AC=16\text{.}$

Центр описанной окружности лежит на стороне $AB\text{,}$ значит $AB$ — диаметр окружности.

Тогда $AB=2R=2\cdot 10=20\text{.}$

Вписанный угол $ACB$ опирается на диаметр $AB\text{,}$ поэтому $\angle ACB=90^{\circ }\text{,}$ и треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB\text{.}$

По теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12.$$

Ответ: 12.