Задача №19446

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $86^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры, поэтому они пересекаются в центре $O\text{,}$ и точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой, как и $B\text{,}$ $O\text{,}$ $D\text{.}$

Шаг 1. Углы $AOD$ и $BOC$ — вертикальные (образованы теми же двумя прямыми $AC$ и $BD$), значит

$$\angle BOC=\angle AOD=86^{\circ }.$$

Шаг 2. В треугольнике $BOC$ стороны $OB$ и $OC$ — радиусы, то есть $OB=OC\text{,}$ поэтому треугольник равнобедренный, и углы при основании $BC$ равны:

$$\angle OCB=\frac{180^{\circ }-86^{\circ }}{2}=47^{\circ }.$$

Шаг 3. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ луч $CO$ совпадает с лучом $CA\text{,}$ поэтому $\angle ACB=\angle OCB=47^{\circ }\text{.}$

Проверка (через вписанный угол): $\angle AOB=180^{\circ }-\angle AOD=94^{\circ }\text{,}$ значит дуга $AB$ равна $94^{\circ }\text{,}$ а вписанный угол $ACB\text{,}$ опирающийся на неё, равен $94^{\circ }:2=47^{\circ }\text{.}$

Ответ: $47\text{.}$