Задача №20420

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 20 и 29,
а основание $BC$ равно 4. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC\parallel AD\text{,}$ боковые стороны $AB=20$ и $CD=29\text{,}$ $BC=4\text{.}$ Точка $M$ — середина $AB\text{,}$ и биссектриса $DM$ угла $ADC$ проходит через неё.

Шаг 1. Вспомогательное построение. Продолжим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$ (за точку $B$).

Так как $AD\parallel BC\text{,}$ при секущей $DK$ накрест лежащие углы равны: $\angle ADK=\angle DKB\text{.}$ Но $DK$ — биссектриса, поэтому $\angle ADK=\angle KDC\text{.}$ Значит, $\angle DKB=\angle KDC\text{,}$ то есть в треугольнике $DKC$ углы при вершинах $K$ и $D$ равны, и он равнобедренный:

Шаг 2. Равенство треугольников по средней точке. Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMK\text{:}$ $AM=MB$ (по условию $M$ — середина), $\angle AMD=\angle BMK$ (вертикальные), $\angle MAD=\angle MBK$ (накрест лежащие при $AD\parallel BK$). Значит, $△AMD=△BMK$ (по стороне и двум прилежащим углам), откуда

Шаг 3. Находим большее основание. Точка $B$ лежит между $K$ и $C\text{,}$ поэтому $KC=KB+BC\text{,}$ то есть $29=AD+4\text{,}$ следовательно

Шаг 4. Высота трапеции. Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную $AB\text{;}$ она пересечёт основание $AD$ в точке $E\text{.}$ Тогда $CE=AB=20\text{,}$ $AE=BC=4\text{,}$ а значит

В треугольнике $ECD$ стороны $CE=20\text{,}$ $ED=21\text{,}$ $CD=29\text{.}$ Проверяем: $20^2+21^2=400+441=841=29^2\text{,}$ то есть треугольник прямоугольный с прямым углом между сторонами $20$ и $21\text{.}$ Его площадь

Высота трапеции $h$ — это высота треугольника $ECD\text{,}$ опущенная на сторону $ED\text{:}$

Шаг 5. Площадь трапеции.

Ответ: $290\text{.}$