Задача №20405

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=14\text{,}$ $AC=98\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Ключевая идея. Проведём касательную $t$ к описанной окружности в точке $A\text{.}$ Радиус $OA$ перпендикулярен касательной $t\text{.}$ По условию $BD\perp AO\text{,}$ значит прямая $BD$ параллельна касательной $t\text{.}$

Угол между касательной и хордой. Угол между касательной $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги, то есть углу $ACB\text{.}$ Так как $BD\parallel t\text{,}$ а $AB$ — секущая, то накрест лежащие углы равны:

Подобие. В треугольниках $ABD$ и $ACB\text{:}$

• угол $A$ общий ($\angle BAD=\angle CAB$);
• $\angle ABD=\angle ACB\text{.}$

Значит, $△ABD\sim △ACB$ по двум углам. Отсюда

Вычисление.

Точка $D$ лежит на стороне $AC\text{,}$ поэтому

Ответ: $96\text{.}$