Задача №20228

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть биссектриса $BE$ и медиана $AD$ пересекаются в точке $P\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный.
Точка $D$ лежит на стороне $BC\text{,}$ поэтому луч $BD$ совпадает с лучом $BC\text{,}$ и отрезок $BP$ является биссектрисой угла $ABD\text{.}$ По условию $BP\perp AD\text{.}$ Если в треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, перпендикулярна противоположной стороне, то эта биссектриса одновременно является медианой и высотой, а треугольник — равнобедренным. Значит,

Шаг 2. Связь сторон.
Так как $D$ — середина $BC\text{,}$ то $BD=\frac{1}{2}BC\text{.}$ Из $AB=BD$ получаем

Шаг 3. Находим $BP\text{.}$
Проведём через середину $D$ стороны $BC$ прямую $DF\parallel BE$ ($F$ на $AC$). В треугольнике $BEC$ отрезок $DF$ — средняя линия, поэтому $DF=\frac{1}{2}BE=6\text{.}$ В треугольнике $ADF$ точка $P$ — середина $AD\text{,}$ а $PE\parallel DF\text{,}$ значит $PE=\frac{1}{2}DF=3\text{.}$ Тогда

Шаг 4. Стороны $AB$ и $BC\text{.}$
В равнобедренном треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ — высота к основанию $AD\text{,}$ $AP=6\text{.}$ По теореме Пифагора

Шаг 5. Сторона $AC\text{.}$
По формуле длины медианы $AD\text{,}$ проведённой к стороне $BC\text{:}$

Подставляем $AD=12\text{,}$ $A{B}^2=117\text{,}$ $B{C}^2=468\text{:}$

Проверка. Биссектриса делит $AC$ в отношении $AE:EC=AB:BC=1:2\text{,}$ что согласуется с построением ($AE=EF=FC$); при этом $AD=BE=12$ и $AD\perp BE\text{.}$

Ответ: $AB=3\sqrt{13}\text{,}$ $BC=6\sqrt{13}\text{,}$ $AC=9\sqrt{5}\text{.}$