Задача №20010

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$ ($D$ — середина $BC\text{,}$ $E$ на $AC$). По условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=36\text{,}$ значит $AP$ и $PD$ — части $AD\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный.
Так как $D$ лежит на $BC\text{,}$ луч $BE$ (биссектриса угла $ABC$) является биссектрисой угла $ABD$ в треугольнике $ABD\text{.}$ Отрезок $BP$ этой биссектрисы перпендикулярен стороне $AD\text{.}$ Если биссектриса треугольника совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный, а сама она — и медиана. Значит:

Шаг 2. Соотношение сторон.
Поскольку $D$ — середина $BC\text{,}$ то $BD=\frac{1}{2}BC\text{,}$ поэтому

Шаг 3. Опорные перпендикуляры.
Опустим из $C$ перпендикуляр на прямую $AD\text{,}$ основание — $H\text{.}$ Прямоугольные треугольники $BPD$ и $CHD$ равны (по гипотенузе-острому: $BD=DC$ как половины $BC\text{,}$ вертикальные углы при $D\text{,}$ прямые углы). Отсюда

Следовательно, на прямой $AD$ точки расположены так: $A\text{,}$ затем $P$ ($AP=18$), затем $D$ ($PD=18$), затем $H$ ($DH=18$), и $AH=18+18+18=54\text{.}$

Шаг 4. Находим $BP\text{.}$
Биссектриса делит сторону: $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}\text{.}$ Так как $BE\perp AD\text{,}$ то и $PE\perp AD\text{.}$ Прямоугольные треугольники $APE$ и $AHC$ подобны (общий угол $A\text{,}$ прямые углы при $P$ и $H$), поэтому

Тогда

Шаг 5. Стороны.
Из прямоугольного треугольника $APB$ ($\angle APB=90^{\circ }$):

Тогда $BC=2AB=18\sqrt{13}\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $AHC$ ($\angle AHC=90^{\circ }\text{,}$ $CH=BP=27$):

Ответ: $AB=9\sqrt{13}\text{,}$ $BC=18\sqrt{13}\text{,}$ $AC=27\sqrt{5}\text{.}$